Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，d為公差且不為0，a₁和d均為實(shí)數(shù)，它的前n項(xiàng)和記作S_n，設(shè)集合A={（a_n，

Sn

n

）|n∈N^*}，B={（x，y）|

1

4

x²-y²=1，x，y∈R}．試問(wèn)下列結(jié)論是否正確，如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉例說(shuō)明：
（1）若以集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這些點(diǎn)都在同一條直線上；
（2）A∩B至多有一個(gè)元素；
（3）當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠∅．

Answer 1

分析：（1）在等差數(shù)列中，寫出數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，表達(dá)出集合中的元素，得到點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程．
（2）列出方程組，利用消元法求出方程組的解，驗(yàn)證這個(gè)方程組只有一個(gè)解，得到這個(gè)集合至多有一個(gè)元素．
（3）驗(yàn)證當(dāng)首項(xiàng)為1，公差為1時(shí)，集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，根據(jù)（2）的結(jié)論，A∩B至多有一個(gè)元素（x₀，y₀），當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠∅是不正確的．

解答：解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，對(duì)一切n∈N^*，有S_n=

n(a1+an)

2

，則

sn

n

=

1

2

(a1+an)
這表明點(diǎn)（a_n，

sn

n

）適合方程y=

1

2

（x+a₁），
于是點(diǎn)（a_n，

sn

n

）均在直線y=

1

2

x+

1

2

a₁上．
（2）設(shè)（x，y）∈A∩B，
則x，y是方程組

y= 1 2 x+ 1 2 a1 1 4 x2-y2 =1

的解，
由方程組消去y得2a₁x+a₁²=-4，
當(dāng)a₁=0時(shí)，方程2a₁x+a₁²=-4無(wú)解，
此時(shí)A∩B=∅；
當(dāng)a₁≠0時(shí)，
方程2a₁x+a₁²=-4只有一個(gè)解x=

-4-a12

2a1

此時(shí)，方程組只有一解，
故上述方程組至多有解

x= -4-a12 2a1 y= a12-4 4a1

，
∴A∩B至多有一個(gè)元素．
（3）取a₁=1，d=1，對(duì)一切的n∈N^*，
有a_n=a₁+（n-1）d=n＞0，

sn

n

＞0，
這時(shí)集合A中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，
另外，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，
那么根據(jù)（2）的結(jié)論，A∩B至多有一個(gè)元素（x₀，y₀），
而x₀=

-4-a12

2a1

=-

5

2

＜0，y₀=

a12-4

4a1

=-

3

4

＜0，這樣的（x₀，y₀）∉A，產(chǎn)生矛盾，故a₁=1，d=1時(shí)，A∩B=∅，
∴當(dāng)a₁≠0時(shí)，一定有A∩B≠∅是不正確的．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解析幾何與數(shù)列的綜合題目，這是一個(gè)中檔題目，對(duì)于數(shù)列的應(yīng)用考查的比較多，這種題目可以作為高考卷的壓軸題目出現(xiàn)，題目中對(duì)于最后一問(wèn)的證明要注意應(yīng)用前面的結(jié)論．