Question

已知函數(shù)f（x）=

- 1 3 x+ 1 6  ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函數(shù)g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2，（a＞0），若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

[

1

2

，

4

3

]

．

Answer 1

分析：根據(jù)x的范圍確定函數(shù)f（x）的值域和g（x）的值域，進(jìn)而根據(jù)f（x₁）=g（x₂）成立，推斷出f（x）與g（x）的值域的交集不等于空集，先求二者的交集為空集時(shí)的a的取值范圍，進(jìn)而可求得當(dāng)集合的交集非空時(shí)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

- 1 3 x+ 1 6  ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，
①當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f（x）=-

1

3

x+

1

6

在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴f（

1

2

）≤f（x）≤f（0），即0≤f（x）≤

1

6

，
∴f（x）的值域?yàn)閇0，

1

6

]；
②當(dāng)x∈（

1

2

，1]時(shí)，f（x）=

2x3

x+1

，
∴f′（x）=

6x2(x+1)-2x3

(x+1)2

=

2x2(2x+3)

(x+1)2

，
∴當(dāng)x＞-

3

2

時(shí)，f′（x）＞0，即f（x）在（-

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在（

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
∴f（

1

2

）＜f（x）≤f（1），即

1

6

＜f（x）≤1，
∴f（x）的值域?yàn)閇

1

6

，1]．
綜合①②，f（x）的值域?yàn)閇0，1]．
∵g（x）=asin（

π

6

x）-2a+2，（a＞0），且x∈[0，1]，
∴0≤

π

6

x≤

π

6

，則0≤sin（

π

6

x）≤

1

2

，
∵a＞0，則0≤asin（

π

6

x）≤

1

2

a，
∴2-2a≤g（x）≤2-

3

2

a，
∴g（x）的值域?yàn)閇2-2a，2-

3

2

a]，
∵存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]∩[2-2a，2-

3

2

a]≠∅，
若[0，1]∩[2-2a，2-

3

2

a]=∅，則2-

3

2

a＜0或2-2a＞1，
∴a＜

1

2

或a＞

4

3

，
∴當(dāng)[0，1]∩[2-2a，2-

3

2

a]≠∅時(shí)，a的取值范圍為[

1

2

，

4

3

]，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

1

2

，

4

3

]．
故答案為：[

1

2

，

4

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷，本題利用了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要知道導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減，要能正確的對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)．同時(shí)考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域問(wèn)題．屬于中檔題．