Question

若a＞0，使不等式|x-4|+|x-3|＜a在R上的解集不是空集的a的取值是（　　）

A、0＜a＜1

B、a=1

C、a＞1

D、以上均不對(duì)

Answer 1

分析：法一：先求不等式|x-3|+|x-4|的最大值，要求解集不是空集時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，只要a大于不等式|x-3|+|x-4|的最大值即可．
法二：不等式的解集不是空集，只需a大于|x-3|+|x-4|的最小值即可，利用絕對(duì)值三角不等式可求它的最小值．

解答：解：法一：|x-3|+|x-4|的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x 到3和4的距離之和，
當(dāng)x在3、4之間時(shí)，這個(gè)距離和最小，是1．其它情況都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果不是空集，所以 a＞1
法二：∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，
∴（|x-3|+|x-4|）_min=1
當(dāng)a≤1時(shí)，|x-3|+|x-4|＜a的解集為∅，
所以a＞1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了絕對(duì)值不等式的解法．表示出原不等式左邊的最小值是解本題的關(guān)鍵．還考查絕對(duì)值不等式的放縮問(wèn)題及函數(shù)的恒成立問(wèn)題，這類(lèi)題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，要注意不等號(hào)進(jìn)行放縮的方向．