Question

已知各項均不相同的等差數(shù)列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，求T₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，建立方程組，求出首項與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法，即可求得T₂₀₁₃的值．

解答：解：（Ⅰ）設公差為d，則
∵等差數(shù)列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

又d≠0，解得d=1，a₁=2，
∴a_n=n+1；
（Ⅱ）∵

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

∴T_n=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

∴T₂₀₁₃=

2013

4030

．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．