解:(1)由f(1)+f(3)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24768.png)
+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24769.png)
=-2.
有a(a-2)=0.
又a>0,所以a=2.
(2)由(1)知函數(shù)f(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24770.png)
,
其定義域為(-∞,2)∪(2,+∞),
設(shè)x
1、x
2∈(-∞,2)且x
1<x
2,
f(x
1)-f(x
2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24773.png)
-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24774.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24776.png)
<0,
即f(x
1)<f(x
2),故f(x)在區(qū)間(-∞,2)上是增函數(shù),同理可得,f(x)在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù).
令h(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24778.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/805.png)
+2,
則函數(shù)h(x)在區(qū)間(-∞,0),(0,+∞)上是減函數(shù),
當(dāng)t∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24780.png)
時,f(t)>f
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24781.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
h(t)<h
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24781.png)
=-1,2
h(t)<2
-1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
所以f(t)>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24784.png)
.
當(dāng)t∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17658.png)
時,f(t)<f
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4882.png)
=7,h(t)>h
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4882.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/395.png)
,
2
h(t)>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24785.png)
>2
3=8,所以f(t)<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24784.png)
.
綜上,當(dāng)t∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24780.png)
時,f(t)>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24784.png)
;
當(dāng)t∈
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/17658.png)
時,f(t)<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24784.png)
.
(3)g(x)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24787.png)
.
由題意可知,方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24789.png)
在{x|x≥-2且x≠2}中有實數(shù)解,
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/24791.png)
=t,則t≥0且t≠2,
問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程mt
2-t+2=0①,
有非負(fù)且不等于2的實數(shù)根.
若t=0,則①為2=0,顯然不成立,
故t≠0,方程①可變形為m=-2
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
,
問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的函數(shù)(t≥0且t≠2)的值域,
因為t≥0且t≠2,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
>0且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
≠
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
,
所以m=-2
2+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3361.png)
∈(-∞,0)∪(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
],
所以實數(shù)m的取值范圍是(-∞,0)∪(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/112.png)
].
分析:(1)有條件f(1)+f(3)=-2易得a的值.
(2)可利用定義討論函數(shù)的單調(diào)性.
(3)實際上是根的存在行問題,可以通過等價轉(zhuǎn)化求解.
點評:本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及根的存在性問題,比較復(fù)雜,但解題方法均為基本方法,要求掌握.