Question

已知a，b，c∈R，f(x)＝＋bx＋c．

(Ⅰ)若a＋c＝0，f(x)在[－1，1]上最大值為2，最小值為－，證明：a≠0且||＜2；

(Ⅱ)若a＞0，p，q是滿足p＋q＝1的實(shí)數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x，y均有

pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)

證明：0≤p≤1

Answer 1

答案：
解析：

本小題主要考查一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及代數(shù)推理能力． 　　證明：(Ⅰ)a＋c＝0，得c＝－a，∴f(x)＝ ＋bx－a． 　　假設(shè)a＝0或≥2． 　　①由a＝0，得f(x)＝bx．依題設(shè)可知，b≠0，因而函數(shù)f(x)為單調(diào)函數(shù)．在[－1，1]上，f(x)的最大值為|b|，最小值為－|b|， 　　于是由此得矛盾． 　　②由≥2，得≥1且a≠0．于是，區(qū)間[－1，1]位于拋物線f(x)＝＋bx－a的對稱軸x＝的左側(cè)或右側(cè)． 　　∴函數(shù)f(x)在[－1，1]上為單調(diào)函數(shù)，其最大值為|b|，最小值為－|b|．由①知，這是不可能的． 　　綜述①、②可知，假設(shè)不成立． 　　∴a≠0且＜2． 　　(Ⅱ)pf(x)＋qf(y)－f(px＋qy) 　�。絧(＋bx＋c)＋q(＋by＋c)－[a＋b(px＋qy)＋c] 　�。絘p(1－p)－2apqxy＋aq(1－q) 　　＝apq 　　∵pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)∴apq≥0 　　∵a＞0，≥0∴pq≥0，即p(1－p)≥0． 　　由此解得0≤p≤1．