Question

某城市為了解決人民路擁擠現象，政府決定建設高架公路，該高架公路兩端的橋墩及引橋已建好，這兩橋墩相距1280米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經預測，一個橋墩的工程費用為32萬元，距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為(2+

x

)x萬元．假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為y萬元．
（1）試寫出y關于x的函數關系式；
（2）政府至少還需投入多少萬元資金才能啟動此工程建設，此時新建橋墩有多少個？

Answer 1

分析：（1）先根據題意設需要新建n個橋墩，得出n與x的關系式，再結合題意即可寫出y關于x的函數關系式；
（2）利用導數研究函數f（x）的單調性，先求出原函數的導數，利用f'（x）＜0，f（x）減函數，當f'（x）＞0．f（x）為增函數進而得出f（x）的最小值，從而解決問題．

解答：解：（1）設需要新建n個橋墩，（n+1）x=1280，即n=

1280

x

-1（2分）
所以y=f(x)=32n+(n+1)(2+

x

)x（5分）
=

40960

x

+1280

x

+2528（0＜x＜1280）（6分）
（2）由（1）知，f′(x)=-

40960

x2

+640x

3

2

=

640

x2

(x

3

2

-64)（8分）
令f'（x）=0，得x

3

2

=64，所以x=16（9分）
當0＜x＜16時f'（x）＜0，f（x）在區(qū)間（0，16）內為減函數；（10分）
當16＜x＜1280時，f'（x）＞0．f（x）在區(qū)間（16，1280）內為增函數，（11分）
所以f（x）在x=16處取得最小值f（16）=10208萬元（12分）
此時，n=

1280

x

-1=79（14分）
故政府至少還需投入10208萬元資金此時新建橋墩有79個．（15分）

點評：本小題主要考查根據實際問題建立數學模型，以及運用函數、導數的知識解決實際問題的能力．屬于基礎題．