已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,點P(1,f(1))在函數(shù)y=f(x)的圖象上,過P點的切線方程為y=3x+1.
(1)若y=f(x)在x=-2時有極值,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的條件下是否存在實數(shù)m,使得不等式f(x)≥m在區(qū)間[-2,1]上恒成立,若存在,試求出m的最大值,若不存在,試說明理由.
分析:(1)求導函數(shù),利用y=f(x)在x=-2時有極值,可得f′(-2)=0的根,利用切線方程為y=3x+1及點P既在函數(shù)y=f(x)的圖象上,又在切線y=3x+1上,可建立方程,即可求得f(x)的解析式;
(2)確定函數(shù)的極值與函數(shù)在區(qū)間的兩個端點值,比較極值與端點的函數(shù)值,求得函數(shù)在區(qū)間[-2,1]上的最小值,即可求得m的最大值.
解答:解:(1)求導函數(shù),可得f′(x)=3x2+2ax+b
∵y=f(x)在x=-2時有極值,∴x=-2是方程f′(x)=3x2+2ax+b=0的根,∴14-4a+b=0①
又切線的斜率,即f′(x)在x=1時的值,∴3+2a+b=3②
∵點P既在函數(shù)y=f(x)的圖象上,又在切線y=3x+1上,∴f(1)=4=1+a+b+c③,
①②③解得a=2,b=-4,c=5,
故f(x)=x3+2x2-4x+5
(2)在(1)的條件下,f(x)=x3+2x2-4x+5
由f′(x)=3x2+4x-4=0得函數(shù)的兩個極值點是x=-2,x=
2
3

函數(shù)的兩個極值為f(-2)=13,f(
2
3
)=
95
27

函數(shù)在區(qū)間的兩個端點值分別為f(-2)=13,f(1)=4.
比較極值與端點的函數(shù)值,知在區(qū)間[-2,1]上,函數(shù)f(x)的最小值為
95
27

不等式f(x)≥m在區(qū)間[-2,1]上恒成立,只需m≤
95
27
,不等式f(x)≥m恒成立.
此時m的最大值為
95
27
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查極值、切線的斜率,考查函數(shù)的最值,解題的關鍵是正確運用導數(shù),確定函數(shù)的最值,從而解決恒成立問題.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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