以下四個命題:
①如果兩個平面垂直,則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線
都垂直于另一個平面內(nèi)無數(shù)條直線;②設(shè)m、n為兩條不
同的直線,α、β是兩個不同的平面,若α∥β,m⊥α,n∥β,則m⊥n,③“直線a⊥b”的充分而不必要條件是“a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”;④若點P到一個三角形三條邊的距離相等,則點P在該三角形所在平面上的射影是該三角形的內(nèi)心.其中正確的命題序號為 .
【答案】分析:①兩個平面垂直,考慮直線與平面的位置關(guān)系,平行或相交,如果l∥β,則在β內(nèi)可以找到無數(shù)條與l異面垂直的直線;如果l與β相交(含垂直),根據(jù)三垂線定理,在β內(nèi)也能找到無數(shù)條直線與之垂直,②由α∥β,m⊥α,可以得到m⊥β,由n∥β,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,在β內(nèi)一定存在一條與n平行的直線r,則m⊥r,故m⊥n,;③a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”應(yīng)該是直線a⊥b”的充要條件;④若點P到一個三角形三條邊的距離相等,作這些距離在三角形內(nèi)的射影,則三個射影也相等,P的射影O到三邊的距離相等,則O是三角形的內(nèi)心.由此可以判定命題的真假.
解答:解:對于①兩個平面垂直,一個平面α內(nèi)的任意直線l與另一個平面β只有兩種:平行或相交,如果l∥β,
則在β內(nèi)可以找到無數(shù)條與l異面垂直的直線;如果l與β相交(含垂直),根據(jù)三垂線定理,
在β內(nèi)頁能找到無數(shù)條直線與之垂直,故①正確;
對于②,由α∥β,m⊥α,可以得到m⊥β,由n∥β,
根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,在β內(nèi)一定存在一條與n平行的直線r,則m⊥r,故m⊥n,正確;
對于③,a垂直于b在平面α內(nèi)的射影”應(yīng)該是直線a⊥b”的充要條件,錯誤;
對于④,根據(jù)條件,作這些距離在三角形內(nèi)的射影,則三個射影也相等,P的射影O到三邊的距離相等,則O是三角形的內(nèi)心,錯誤;
故答案為:①②
點評:本題考查直線與直線位置關(guān)系的判定、平面與平面位置關(guān)系的判定、三角形五心的定義、是空間直線、平面位置關(guān)系判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,解答時一定要注意判定定理與性質(zhì)定理的綜合應(yīng)用、三角形五心的定義,否則極易出現(xiàn)錯誤.