((本題滿分14分)

已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分別是AB、CD上的點(diǎn),EF∥BC,AE = x,G是BC的中點(diǎn).沿EF將梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF (如圖).

(1)當(dāng)x=2時(shí),求證:BD⊥EG ;

(2)若以F、B、C、D為頂點(diǎn)的三棱錐的體積記為

的最大值;

(3)當(dāng)取得最大值時(shí),求二面角D-BF-C的余弦值.

 

【答案】

 

(1)略

(2)

(3)-

【解析】1)方法一:∵平面平面,

AE⊥EF,∴AE⊥平面,AE⊥EF,AE⊥BE,

又BE⊥EF,故可如圖建立空間坐標(biāo)系E-xyz.

,又為BC的中點(diǎn),BC=4,

.則A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0),

(-2,2,2),(2,2,0),

(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴.………………4分

 

方法二:作DH⊥EF于H,連BH,GH,

由平面平面知:DH⊥平面EBCF,

而EG平面EBCF,故EG⊥DH.

為平行四邊形,

四邊形BGHE為正方形,∴EG⊥BH,BHDH=H,

故EG⊥平面DBH,

而BD平面DBH,∴ EG⊥BD.………4分

(或者直接利用三垂線定理得出結(jié)果)

 

(2)∵AD∥面BFC,

所以 =VA-BFC

,

時(shí)有最大值為. ………8分

(3)設(shè)平面DBF的法向量為,∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2),

F(0,3,0),∴………10分

(-2,2,2),

,

,

,∴

,面BCF一個(gè)法向量為,………12分

則cos<>=,………13分

由于所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角,所以此二面角的余弦值為-.………14分

 

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
3
(ρ∈R ),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,曲線C的參數(shù)方程為
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y=1+cos2α
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(2)已知點(diǎn),在動(dòng)點(diǎn)的軌跡上是否存在兩個(gè)不重合的兩點(diǎn)、,使 (O是坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出直線的方程,若不存在,請(qǐng)說明理由。

 

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