Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-x，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）若函數(shù)F（x）=f（x）-ax²-1的導(dǎo)函數(shù)F′（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值；
（2）求證：f（

1

2

）+f（

1

3

）+f（

1

4

）+…+f（

1

n+1

）＞n+

n

4(n+2)

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)F′（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，可得H'（x）=e^x-2a≥0，即可求實數(shù)a的最大值；
（2）F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，此時F（0）=0，F(xiàn)（x）≥0，即f(x)≥

1

2

x 2+1，x∈[0，+∞），可得f(

1

2

)≥

1

2

(

1

2

) 2+1，f(

1

3

)≥

1

2

(

1

3

) 2+1，…f(

1

n+1

)≥

1

2

(

1

n+1

) 2+1，各式相加，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：F'（x）=f'（x）-2ax=（e^x-1）-2ax，令H（x）=F'（x），
由題知H'（x）=e^x-2a≥0，所以a≤

1

2

ex，x∈[0，+∞)，
所以a≤

1

2

，即amax=

1

2

；       （4分）
（2）證明：由（1）知當(dāng)a=

1

2

時F'（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，故F'（x）≥F'（0）=0，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，此時F（0）=0，F(xiàn)（x）≥0，即f(x)≥

1

2

x 2+1，x∈[0，+∞），（4分）
即有f(

1

2

)≥

1

2

(

1

2

) 2+1，f(

1

3

)≥

1

2

(

1

3

) 2+1，…f(

1

n+1

)≥

1

2

(

1

n+1

) 2+1，
各式相加有f(

1

2

)+f(

1

3

)+f(

1

4

)+…+f(

1

n+1

)≥

1

2

[(

1

2

)2+(

1

3

)2+…+(

1

n+1

)2]+n＞

1

2

[

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

]+n=

1

2

[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

(n+1)

-

1

(n+2)

]+n
=

1

2

(

1

2

-

1

n+2

)+n=n+

n

4(n+2)

（6分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．