Question

（本小題滿分12分）
如圖，平面⊥平面，是直角三角形，，四邊形是直角梯形，其中,，，且，是的中點，分別是的中點.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值.

Answer 1

（Ⅰ）取的中點，證明四邊形為平行四邊形, ∴,則平面（Ⅱ）2

試題分析：（Ⅰ）取的中點，連接，由為中點,
故又為中點,∴,
∴，故四邊形為平行四邊形,                             ……3分
∴,則平面.                                         ……4分
(Ⅱ) 連接，則，又，平面⊥平面，
∴⊥面, 故面⊥面,                                   ……6分
過作于，則⊥面,
過作于，連，
則，故為二面角的平面角,                     ……8分
由于為的中點，故===1,
∵，,
由為的中點，故，又為的中點，可知,
從而,又是的中點,∴為的中點∴==,   ……11分
∴==2，∴二面角平面角的正切值為2.          ……12分
點評：證明空間中直線、平面間的位置關系時，要緊扣判定定理和性質定理，定理中要求的條件缺一不可.