Question

設(shè)M是把坐標(biāo)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)沿y軸方向伸長(zhǎng)為原來(lái)5倍的伸壓變換．
（1）求直線4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值與特征向量．

Answer 1

分析：（1）先求伸壓變換M=

1 0 0 5

，再求出點(diǎn)的變換規(guī)律，代入4x-10y=1，從而求出方程；（2）由矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，所以M的特征值為λ₁=1，λ₂=5，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的特征向量．

解答：（1）M=

1 0 0 5

．設(shè)（x'，y'）是所求曲線上的任一點(diǎn)，

1 0 0 5

x y

=

x′ y′

，
所以

x′=x y′=5y

所以

x=x′ y= 1 5 y′

代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，
所以所求曲線的方程為4x-2y=1．
（2）矩陣M的特征多項(xiàng)式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，
所以M的特征值為λ₁=1，λ₂=5．
當(dāng)λ₁=1時(shí)，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量α1=

1 0

；
當(dāng)λ₂=5時(shí)，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量α2=

0 1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用、特征值與特征向量的計(jì)算，解題時(shí)要注意特征值與特征向量的計(jì)算公式的運(yùn)用．細(xì)