Question

在R上定義運(yùn)算?：p?q=-

1

3

（p-c）（q-b）+4bc（b、c為實(shí)常數(shù)）．記f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，x∈R．令f（x）=f₁（x）?f₂（x）．
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值；
（Ⅱ）求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；
（Ⅲ）記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M．若M≥k對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由定義求出f（x）和導(dǎo)數(shù)．（1）由題意得，f（1）=-

4

3

且f′（1）=0，解出b，c 并檢驗(yàn)即可；
（2）因?yàn)榍芯�的斜率為c，則解出f′（t）=c時(shí)t的值得到切點(diǎn)坐標(biāo)，寫(xiě)出切線方程與曲線解析式聯(lián)立求出公共點(diǎn)可知公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（3）根據(jù)題意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可．

解答： 解：（I）依題意：已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
得f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+bc，
解

f(1)= 4 3 f′(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=1 c=3

．
若得

b=1 c=-1

，
f（x）=

1

3

x³+x²-x-1，
f′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減，在x=1處無(wú)極值；
若

b=1 c=3

，f（x）=

1

3

x³-x²+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接討論知，
f（x）在x=1處有極大值，所以

b=1 c=3

即為所求；
（Ⅱ）f′（t）=c得t=0或t=2b，切點(diǎn)分別為（0，bc）、（2b，3bc+

4

3

b³），
相應(yīng)的切線為y=cx+bc或y=cx+bc+

4

3

b³．
解cx+bc=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
得x=0或x=3b；
解cx+bc+

4

3

b³=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
綜合可知，b=0時(shí)，斜率為c的切線只有一條，與曲線的公共點(diǎn)只有（0，0），b≠0時(shí)，
斜率為c的切線有兩條，與曲線的公共點(diǎn)分別為（0，bc）、（3b，4bc）和（2b，

4

3

b³+3bc）、（-b，

4

3

b³）
（Ⅲ）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．
若|b|＞1，則f′（x）在[-1，1]是單調(diào)函數(shù)，
因?yàn)閨b|＞1，所以函數(shù)y=f′（x）的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]之外，
所以f′（x）在[-1，1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得．
故M應(yīng)是g（1）和g（-1）中較大的一個(gè)．
假設(shè)M≤2，則g（-1）=|-1-2b+c|≤2，
g（1）=|-1+2b+c|≤2，
將上述兩式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，導(dǎo)致矛盾，
所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f′（x）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．；
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b）
則M=max{||f′（1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（1）-f′（b）|=

1

2

（b-1）²≥

1

2

若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{||f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f′（-1）-f′（b）|=

1

2

（b+1）²≥

1

2

當(dāng)b=0，c=

1

2

時(shí)，g（x）=|f′（x）|=|-x²+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范圍是（-∞，

1

2

]．k的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查不等式有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值及參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)求最值，是解題的關(guān)鍵，屬于難題