Question

已知函數f（x）=

3

sin2x+2cos²x+2．
（1）求函數f（x）的最小正周期與單調遞減區(qū)間；
（2）若A是三角形的一個內角，且f（A）=4，求A的值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,正弦定理

專題：

分析：（1）利用輔助角公式將函數化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；根據正弦函數的單調性即可確定出f（x）的遞減區(qū)間．
（2）由f（A）=4，解三角方程即可得到結論．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+2cos²x+2=

3

sin2x+cos2x+3=2sin（2x+

π

6

）+3，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z，
則函數f（x）的單調遞減區(qū)間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ]，k∈Z，
（2）由f（A）=4得f（A）=2sin（2A+

π

6

）+3=4，
即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵A是三角形的一個內角，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
即2A+

π

6

=

5π

6

，解得A=

π

3

．

點評：本題考查了兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的單調性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．