Question

已知函數(shù)．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）故曲線在處的切線方程為；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先將代入函數(shù)的解析式，并求出導(dǎo)數(shù)，然后分別求出與的值，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方程；（2）將“函數(shù)在上是增函數(shù)”這一條件轉(zhuǎn)化為“不等式在上恒成立”進(jìn)行求解，結(jié)合參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為“不等式在上恒成立”型不等式進(jìn)行處理，即等價(jià)于“”，最后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，從而得到參數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則，

，，

故曲線在處的切線方程為，即；

（2）在上是增函數(shù)，則上恒成立，

，，

于是有不等式在上恒成立，即在上恒成立，

令，則，令，解得，列表如下：

	減	極小值	增

故函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，即，所以，

即實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2.函數(shù)不等式恒成立；3.參數(shù)分離法