Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，又知該數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于所有偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，而且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第三項(xiàng)與第四項(xiàng)和的9倍．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{lga_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n值最大的正整數(shù)n的值．（其中l(wèi)g2=0.3，lg3=0.4）

Answer 1

分析：（1）首先判斷出公比q≠1，把所有項(xiàng)的和等于所有偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，而且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第三項(xiàng)與第四項(xiàng)和的9倍．轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程組，并求解，得出首項(xiàng)和公比后，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解．
（2）將a_n變形為an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，為求和S_n，宜進(jìn)一步判斷出數(shù)列{lga_n}是等差數(shù)列，由此S_n，是關(guān)于n的二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解答：解：（1）由已知q≠1，否則奇數(shù)項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和，數(shù)列的所有項(xiàng)的和等于所有偶數(shù)項(xiàng)和的2倍，
與已知矛盾．
設(shè)數(shù)列{a_n}的項(xiàng)數(shù)為2k，公比為q，則

a1(1-q2k) 1-q = 4a2(1-(q2)k) 1-q2 ① a2•a4=9(a3+a4)②

解①得q=

1

3

，代入②得a₁=108，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=108×(

1

3

)n-1．
（2）∵an=108×(

1

3

)n-1=4×3^4-n，
∴l(xiāng)ga_n=lg4+（4-n）lg3=2lg2+（4-n）lg3=2.2-0.4n，
∵lga_n+1-lga_n=-0.4，
∴數(shù)列{lga_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1.8，公差為-0.4，
∴S_n=1.8n+

n(n-1)

2

×（-0.4）=-0.2n²+2n=-0.2（n-5）²+5
∴S_n值最大值為5，當(dāng)n=5時(shí)取得．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，對數(shù)的運(yùn)算，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)．考查推理論證、轉(zhuǎn)化求解能力．