Question

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，△BCD是正三角形．
（Ⅰ）將四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；
（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積S的最大值及此時θ角的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設條件知S_四邊形=S_△ABD+S_△BCD，由于可由題設條件用θ三角函數(shù)表示出來，△BCD是正三角形，需要在，△BAD由余弦定理求出其邊長方能計算出它的面積，分別計算出兩個三角形的面積，再相加即可得到四邊形ABCD的面積S表示為θ的函數(shù)；
（II）由（I）中的四邊形的面積函數(shù)表達式，利用三角函數(shù)的有界性求出函數(shù)的最值及最值取到時θ角的值．

解答：解：（I）由余弦定理得，BD²=AB²+AD²-2AB×BDcosθ=2-2cosθ
（也可得到BD=2sin2

θ

2

）（2分）
S_四邊形=S_△ABD+S_△BCD=

1

2

×1×1×sinθ+

3

4

(2-2cosθ)=

1

2

sinθ-

3

2

cosθ+

3

2

（5分）
S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)，θ∈（0，π）；（7分）
（II）由（I）S=

3

2

+sin(θ-

π

3

)
當θ=

5

6

π時，S最大值為1+

3

2

（10分）

點評：本題考查余弦定理的應用，解題的關鍵是熟練掌握余弦定理的內容且能在實際問題中用余弦定理建立方程求值，本題考查了三角函數(shù)的有界性以及兩角和與差的正弦函數(shù)，知識性較強，本題考查了利用公式變形的能力