Question

(本題滿分10分)

（第20題）

如圖，平面平面，為正三角形，四邊形為直角梯形，且∠BAD = 90°，AB∥DF，，AB =a, DF = 。

   （I）求證：；

（II）求二面角的大小;

   （Ⅲ）點(diǎn)P是線段EB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，求BP 的長(zhǎng)度.

Answer 1

(本題滿分10分)

（第20題）

（I）連結(jié)，則

，

，，

所以，即.

又因?yàn)?sub>，所以平面，得.                   3分

方法一

（Ⅱ） 平面平面，過點(diǎn)向引垂線交于點(diǎn)，連結(jié)，延長(zhǎng)DF到點(diǎn)C，使CD = AB，

則，

，

，

所以，即為二面角的平面角，

在中，，所以．                        6分

（第20題）

方法二：（II ）取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OE，則EOAD，EO平面ABCDD，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，

則，

所以,，

可求得平面的法向量為，平面的一個(gè)法向量為，

則二面角的大小為，，即二面角為．          6分

（Ⅲ）設(shè)，（）則

 

，     同理，，   8分

，

  由=0，解得t=或，

所以BP = .                                                10分