Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)），在以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為 ，A，B兩點的極坐標(biāo)分別為 ．
（1）求圓C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）點P是圓C上任一點，求△PAB面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，化簡得： ，

消去參數(shù)t，得（x+5）2+（y﹣3）2=2，

∴圓C的普通方程為（x+5）2+（y﹣3）2=2．

由ρcos（θ+ ）=﹣ ，化簡得 ρcosθ﹣ ρsinθ=﹣ ，

即ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，即x﹣y+2=0，

則直線l的直角坐標(biāo)方程為x﹣y+2=0

（2）解：將A（2， ），B（2，π）化為直角坐標(biāo)為A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|= =2 ，

設(shè)P點的坐標(biāo)為（﹣5+ cost，3+ sint），

∴P點到直線l的距離為d= = ，

∴dmin= =2 ，

則△PAB面積的最小值是S= ×2 ×2 =4．

【解析】（1）由圓C的參數(shù)方程消去t得到圓C的普通方程，由直線l的極坐標(biāo)方程，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）將A與B的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并求出|AB|的長，根據(jù)P在圓C上，設(shè)出P坐標(biāo)，利用點到直線的距離公式表示出P到直線l的距離，利用余弦函數(shù)的值域確定出最小值，即可確定出三角形PAB面積的最小值．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓的參數(shù)方程的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握圓的參數(shù)方程可表示為．