Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\{x^{\frac{1}{2}}}，x＞0\end{array}\right.$，則f（-1）=1，若f（a）＜1，則實數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 由函數(shù)的解析式求得f（-1）的值；把不等式f（a）＜1等價轉(zhuǎn)化為與之等價的2個不等式組，求得每個不等式組的解集，再取并集，即得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^{-x}}-1，x≤0\\{x^{\frac{1}{2}}}，x＞0\end{array}\right.$，可得f（-1）=2-1=1．
f（a）＜1等價于$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{{2}^{-a}-1＜1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\sqrt{a}＜1}\end{array}\right.$ ②．
解①可得-1＜a≤0，解②可得 0＜a＜1，故實數(shù)a的取值范圍是（-1，1），
故答案為：1；（-1，1）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，指數(shù)不等式、根式不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．