Question

已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=6，BC=7/4．以AB的中點(diǎn)0為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系x0y
（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過(guò)P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，

|0P|

|0M|

=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的定義可得2c=AB可求c，在長(zhǎng)方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC，根據(jù)橢圓的定義可得，2a=CA+CB可求a，進(jìn)而可求b及橢圓的方程
（2）設(shè)M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及點(diǎn)P在橢圓C上可得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]，根據(jù)方程的特點(diǎn)，故討論二次項(xiàng)系數(shù)16λ²-9=0，16λ²-9＞0，16λ²-9＜0三種情況討論，從而可得方程代表的曲線類(lèi)型

解答：解：（1）由橢圓的定義可得2c=AB=6，c=3
在長(zhǎng)方形ABCD，由AB=6，BC=

7

4

可得AC=

36+ 49 16

=

25

4

，
∴2a=CA+CB=8，a=4∴b²=a²-c²=7
橢圓的方程為

x2

16

+

y2

7

=1…（5分）
（2）設(shè)M（x，y），其中x∈[-4，4]．由已知

|0P|

|0M|

=λ，及點(diǎn)P在橢圓C上可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ2．整理得（（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，x∈[-4，4]…（8分）
（i）λ=

3

4

時(shí)．化簡(jiǎn)得9y²=112
所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±

4 7

3

(-4≤x≤4)，軌跡是兩條平行于x軸的線段．
（ii）λ≠

3

4

時(shí)，方程變形為

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，其中x∈[-4，4]
當(dāng)0＜λ＜

3

4

時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分．
當(dāng)

3

4

＜λ＜1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓的定義求解橢圓的參數(shù)a，c，b的值，進(jìn)而求解橢圓的方程，及二次曲線表示橢圓、雙曲線、圓的條件的考查．