Question

若定義在R上的減函數(shù)y=f（x），對(duì)于任意的x，y∈R，不等式f（x²-2x）≤-f（2y-y²）成立；且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，則當(dāng) 1≤x≤4時(shí)，

y

x

的取值范圍

[-

1

2

，1 ]

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，可知函數(shù)是奇函數(shù)，再利用在R上的減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為具體的不等式，故可解．

解答：解：根據(jù)函數(shù)y=f（x-1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱(chēng)，
可知函數(shù)是奇函數(shù)，
所以由f（x²-2x）≤-f（2y-y²），
得f（x²-2x）≤f（-2y+y²），
∵在R上的減函數(shù)y=f（x），
∴x²-2x≥-2y+y²，

x≥y x+y≥2

，或

x≤y x+y≤2

，
這兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示．
∵1≤x≤4，
∴取兩個(gè)不等式組表示的平面區(qū)域中的△ABC所在的區(qū)域，

y

x

指的是△ABC區(qū)域中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率．
當(dāng)x=4，y=-2時(shí)，

y

x

取得最小值-

1

2

，
當(dāng)x=y時(shí)，

y

x

取得最大值1．
∴-

1

2

≤

y

x

≤1，
故答案為[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，利用函數(shù)為奇函數(shù)將不等式等價(jià)變形，利用單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為具體的不等式，要注意細(xì)細(xì)體會(huì)