Question

記S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，當k=1，2，3，…時，觀察下列等式：
S₁=

1

2

n2+

1

2

n，
S₂=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，
S₃=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，
S₄=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，
S₅=

1

6

n6+

1

2

n5+

5

12

n4+An2
，…
可以推測，A=

 

．

Answer 1

考點：歸納推理

專題：常規(guī)題型

分析：本題屬于歸納推理題，主要是觀察各式的項數(shù)、次數(shù)、系數(shù)等規(guī)律，本題只須歸納出系數(shù)的規(guī)律即可．

解答： 解：記S_k=1^k+2^k+3^k+…+n^k，當k=1，2，3，…時，觀察下列等式：
S₁=

1

2

n2+

1

2

n，可得：最高次項為2次，按n的降冪排列，奇次項系數(shù)

1

2

、偶次項系數(shù)

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₂=

1

3

n3+

1

2

n2+

1

6

n，可得：最高次項為3次，按n的降冪排列，奇次項系數(shù)和

1

3

+

1

6

=

1

2

，偶次項系數(shù)

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₃=

1

4

n4+

1

2

n3+

1

4

n2，可得：最高次項為4次，按n的降冪排列，奇次項系數(shù)

1

3

、偶次項系數(shù)和

1

4

+

1

4

=

1

2

，

1

2

=

1

2

，相等；
S₄=

1

5

n5+

1

2

n4+

1

3

n3-

1

30

n，可得：最高次項為5次，按n的降冪排列，奇次項系數(shù)和

1

5

+

1

3

-

1

30

=

1

2

，偶次項系數(shù)

1

2

，

1

5

+

1

3

-

1

30

=

1

2

，相等；
S₅=

1

6

n6+

1

2

n5+

5

12

n4+An2，可得：最高次項為6次，按n的降冪排列，奇次項和、偶次項系數(shù)和相等，均為

1

2

；
則有：

1

6

+

5

12

+A=

1

2

，A=-

1

12

．
故答案為：-

1

12

點評：本題考查的是歸納推理，要求能夠從系數(shù)中找出規(guī)律，再對規(guī)律加以應用，解決新的問題，這反映了歸納推理的創(chuàng)造性．