Question

若a＞b＞c，則

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

證明：因為（a-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)=（a-b+b-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)=2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

∵a＞b＞c∴a-b＞0，b-c＞0；
∴

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2

b-c a-b • a-b b-c

=2
∴2+

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥4∴（a-c）(

1

a-b

+

1

b-c

)≥4
     因為a＞c所以a-c＞0
     所以

1

a-b

+

1

b-c

≥

4

a-c

類比上述命題及證明思路，回答以下問題：
①若a＞b＞c＞d，比較

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

與

9

a-d

的大小，并證明你的猜想；
②若a＞b＞c＞d＞e，且

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

+

1

d-e

≥

m

a-e

恒成立，試猜想m的最大值，并寫出猜想過程，不要求證明．

Answer 1

分析：①由已知中的證明思路，可知不等式的證明是通過將a-c分解為a-b+b-c，展開后利用基本不等式進行證明，類比可得要證得

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，可將a-d分解為a-b+b-c+c-d，展開后利用基本不等式進行證明；
②當式子左邊為2項時，右邊的分子最大值為4，當式子左邊為3項時，右邊的分子最大值為9，可猜想當式子左邊為4項時，右邊的分子最大值為16．

解答：解：①

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，理由如下：
因為（a-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)=（a-b+b-c+c-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)=3+

a-b

b-c

+

b-c

a-b

+

b-c

c-d

+

c-d

b-c

+

a-b

c-d

+

c-d

a-b

∵a＞b＞c＞d
∴a-b＞0，b-c＞0，c-d＞0；
∴

b-c

a-b

+

a-b

b-c

≥2

b-c a-b • a-b b-c

=2
同理

b-c

c-d

+

c-d

b-c

≥2，

a-b

c-d

+

c-d

a-b

≥2
∴3+

a-b

b-c

+

b-c

a-b

+

b-c

c-d

+

c-d

b-c

+

a-b

c-d

+

c-d

a-b

≥9
∴（a-d）(

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

)≥9
∵a＞d
∴a-d＞0
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

≥

9

a-d

，
②由已知及①中結論，可得
若

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-d

+

1

d-e

≥

m

a-e

恒成立，
則m的最大值為12

點評：本題考查的知識點是類比推理和歸納推理，是推理類問題的綜合應用，難度中檔．