Question

已知雙曲線(xiàn)M：和雙曲線(xiàn)N：，其中b＞a＞0，且雙曲線(xiàn)M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)M的離心率為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)雙曲線(xiàn)M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，得交點(diǎn)坐標(biāo)為：（c，c），其中c是兩個(gè)雙曲線(xiàn)公共的半焦距．將點(diǎn)（c，c）代入雙曲線(xiàn)M（或雙曲線(xiàn)N）的方程，結(jié)合b²=c²-a²化簡(jiǎn)整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得e²==（）²，從而得到雙曲線(xiàn)M的離心率e=．
解答：解：∵雙曲線(xiàn)M方程為：，雙曲線(xiàn)N方程為：，其中b＞a＞0，
∴兩個(gè)雙曲線(xiàn)的焦距相等，設(shè)為個(gè)焦距為2c，其中c滿(mǎn)足：
∵雙曲線(xiàn)M與N的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，
∴交點(diǎn)坐標(biāo)為：（c，c），代入雙曲線(xiàn)M（或雙曲線(xiàn)N）的方程，得
，結(jié)合b²=c²-a²得：，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，解之得e²==（）²（另一值小于1舍去）
∴雙曲線(xiàn)M的離心率e=
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題給出兩個(gè)形狀相同，但焦點(diǎn)分別在x、y上的雙曲線(xiàn)，它們的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，求該雙曲線(xiàn)的離心率，著重考查了雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)與基本概念，屬于中檔題．