Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（x）=f（

x+y

1+xy

）；當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0．
（1）判定f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并說明理由；
（2）判定f（x）在（-1，1）上的單調性，并給出證明．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用賦值法，x=y=0求出f（0）的值，結合y=-x，利用已知條件，推出函數(shù)是奇函數(shù)即可．
（2）先設0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），根據(jù)題目條件進行化簡變形判定其符號，根據(jù)函數(shù)單調性的定義即可判定．

解答： 解：（1）由x=y=0得f（0）+f（0）=f（

0+0

1+0

）=f（0），
∴f（0）=0，
任取x∈（-1，1），則-x∈（-1，1），f（x）+f（-x）=f（

x-x

1-x2

）=f（0）=0．
∴f（x）+f（-x）=0，
即f（x）=-f（-x），
∴f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)．
（2）設0＜x₁＜x₂＜1，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）．
而x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1所以-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0
∵當x∈（-1，0）時，f（x）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0
即當x₁＜x₂時，f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，
∵f（x）在（-1，1）上為奇函數(shù)，
∴f（x）在（-1，1）上單調遞減．

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性的判定與證明，以及函數(shù)奇偶性的判定，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的“整體”性質，單調性是函數(shù)的“局部”性質，屬于中檔題．