Question

已知函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上是否有零點(diǎn)，若有，求出零點(diǎn)，若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅲ）若任意的x₁，x₂∈（1，2）且x₁≠x₂，證明：．（注：ln2≈0.693）

Answer 1

解：（x＞0）．
（Ⅰ） （x＞0）．（2分）
∵，∴，
∴在區(qū)間和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是．（4分）
（Ⅱ）先求f（x）在x∈[1，2]的最大值．
由（Ⅰ）可知，當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．（6分）
由可知，所以2lna＞-2，所以-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，所以f（x）_max＜0，
故不存在符合條件的a，使得f（x）=0．（8分）
（Ⅲ）證明一：當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
只需證明，都成立，即可得證命題成立．（10分）
，設(shè)，，
∴g（a）在上是減函數(shù)，
，設(shè)，
∴h（a）在上是增函數(shù)，
綜上述命題成立．（12分）
證明二：當(dāng)時(shí)，，x∈（1，2）f′（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，f′（1）=1-a＞0，f′（2）=0，，
∵，
∴，．（10分）
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有對(duì)任意x₁，x₂∈（1，2），x₁≠x₂．（12分）
分析：（Ⅰ） 先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)，可得，從而可得在區(qū)間和（2，+∞）上，f′（x）＞0；在區(qū)間上f′（x）＜0，由此可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）確定f（x）在x∈[1，2]的最大值，即可判斷不存在符合條件的a，使得f（x）=0；
（Ⅲ）證明一：當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
只需證明，都成立，即可得證命題成立；
證明二：當(dāng)時(shí)，，x∈（1，2）f′（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，確定，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最值．