Question

2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)M（不在平面ABCD內(nèi)）滿足MA⊥MB，則三棱錐A-BCM的體積的取值范圍為（0，144]．

Answer 1

分析 由三棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，底面△ABC的面積一定，高最大時(shí)，其體積最大；高由頂點(diǎn)M確定，當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí)，高最大，體積也最大．

解答 解：如圖所示，因?yàn)槿�棱錐A-BCM的體積=三棱錐M-ABC的體積，
底面△ABC的面積是定值，當(dāng)高最大時(shí)，體積最大；
所以，當(dāng)平面MAB⊥平面ABCD時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
在△MAB中，MA⊥MB，AB=12，
所以，高最大為MN=6，
所以，三棱錐A-BCM的最大體積為：
V_A-BCM=V_M-ABC=$\frac{1}{3}$•S_△ABC•MN=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×12×12×6=144．
所以三棱錐A-BCM的體積的取值范圍為（0，144]．
故答案為：（0，144]．

點(diǎn)評(píng) 本題通過(guò)作圖知，側(cè)面與底面垂直時(shí)，得出高最大時(shí)體積也最大；其解題的關(guān)鍵是正確作圖，得高何時(shí)最大．