Question

在三棱錐P-ABC中，AC=a，BC=2a，AB=a，側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，點P到平面ABC的距離為．
（I ）求二面角P-AC-B的大小：
（II）求點B到平面PAC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)勾股定理得△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，點P在平面ABC內(nèi)的射影是Pt△ABC的外心，即斜邊BC的中點E，取AC的中點D，連接PD，DE，PE，則∠PDE為二面角P-AC-B的平面角，最后在在Rt△PED中求出此角即可；
（II）設點B到平面PAC的距離為h，則由V_P-ABC=V_B-APC建立等式求出h，從而求出點B到平面PAC的距離．
解答：解：（I）∵，∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是∠BAC=90°的直角三角形，
∵側(cè)棱PA、PB、PC與底面ABC所成的角相等，
∴點P在平面ABC內(nèi)的射影是Pt△ABC的外心，即斜邊BC的中點E．
取AC的中點D，連接PD，DE，PE，則PE=，DE∥AB，
∴
∵PE⊥平面ABC，∴DE是PD在平面ABC內(nèi)的射影．∵AC⊥DE，∴AC⊥PD．
∴∠PDE為二面角P-AC-B的平面角．
在Rt△PED中，．
∴，故二面角P-AC-B的大小為．
（II）∵AC=a，PD=，∴．
設點B到平面PAC的距離為h，則由V_P-ABC=V_B-APC得
．
解方程得，∴點B到平面PAC的距離等于．
點評：本題主要考查了二面角平面角的度量，以及點到平面的距離，同時考查了等體積法等有關知識，考查空間想象能力，屬于中檔題．