Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞0 ， b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若橢圓上存在點(diǎn)P（異于長(zhǎng)軸的端點(diǎn)），使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，則該橢圓離心率的取值范圍是

2

-1≤e＜1

．

Answer 1

分析：根據(jù)正弦定理與題中等式，算出

|PF1|

|PF2|

=e（e是橢圓的離心率）．作出橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)l，作PQ⊥l于Q，根據(jù)橢圓的第二定義得

|PF1|

|PQ|

=e，所以|PQ|=|PF₂|=

|PF1|

e

．設(shè)P（x，y），將|PF₁|、|PF₂|表示為關(guān)于a、c、e、x的式子，利用|PF₂|+|PF₁|=2a解出x=

ae-a

e(e+1)

．最后根據(jù)橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足-a≤x≤a，建立關(guān)于e的不等式并解之，即可得到該橢圓離心率的取值范圍．

解答：解：∵△PF₁F₂中，由正弦定理得

|PF1|

sin∠PF2F1

=

|PF2|

sin∠PF1F2

，
∴

|PF1|

|PF2|

=

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

．
又∵csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，
∴

sin∠PF2F1

sin∠PF1F2

=

c

a

=e（e為橢圓的離心率），由此可得

|PF1|

|PF2|

=e，
作出橢圓的左準(zhǔn)線(xiàn)l，設(shè)P在l上的射影為點(diǎn)Q，連結(jié)PQ，
由橢圓的第二定義，得

|PF1|

|PQ|

=e，因此|PQ|=|PF₂|=

|PF1|

e

．
設(shè)P（x，y），可得|PQ|=x+

a2

c

，
∴|PF₂|=x+

a2

c

，|PF₁|=e|PF₂|=e（x+

a2

c

）．
由橢圓的第一定義，得|PF₂|+|PF₁|=2a，即（1+e）（x+

a2

c

）=2a，解得x=

2a

1+e

-

a2

c

=

ae-a

e(e+1)

．
∵P（x，y）為橢圓上一點(diǎn)，滿(mǎn)足-a≤x≤a，
∴-a≤

ae-a

e(e+1)

≤a，即-1≤

e-1

e(e+1)

≤1，解之得e≤-1-

2

或e≥

2

-1
∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴該橢圓離心率的取值范圍是

2

-1≤e＜1．
故答案為：

2

-1≤e＜1

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上點(diǎn)P滿(mǎn)足到左、右焦點(diǎn)的距離之比等于離心率e，求離心率的取值范圍．著重考查了正弦定理、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和不等式的解法等知識(shí)，屬于中檔題．