如圖,已知MN分別是橢圓C1、C2的長軸和短軸,且C1、C2的離心率都等于
2
2
,直線l⊥MN,l與C1交于B,C兩點(diǎn),與C2交于A,D兩點(diǎn).
(I)當(dāng)|MN|=4時,求C1,C2的方程;
(II)當(dāng)l平行移動時,
(。┳C明:|BC|:|AD|為定值;
(ⅱ)是否存在直線l,使BO∥AN?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.
(ⅱ)是否存在直線l,使BO∥AN?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.
分析:(I)根據(jù)MN分別是橢圓C1、C2的長軸和短軸,且C1、C2的離心率都等于
2
2
,確定幾何量之間的關(guān)系,即可求得橢圓的方程;
(II)(。└鶕(jù)C1、C2的離心率都等于
2
2
,可設(shè)C1,C2的方程,設(shè)l:x=t(|t|<a),分別與C1、C2方程聯(lián)立,求得A,B的坐標(biāo),即可證得結(jié)論;(ⅱ)t=0時的l不符合題意;t≠0時,BO∥AN?kBO=kAN,利用BO∥AN建立等式,求得t=-a,與|t|<a矛盾,故可得結(jié)論.
解答:(I)解:∵C1離心率都等于
2
2
,長軸長|MN|=4,
∴a=2,
c
a
=
2
2

∴c=
2

∴b2=a2-c2=2
∴C1方程為
x2
4
+
y2
2
=1
;
∵C2的離心率都等于
2
2
,短軸長|MN|=4,
∴C2方程為
x2
4
+
y2
8
=1

(II)(。┳C明:由于C1、C2的離心率都等于
2
2
,可設(shè)C1
x2
a2
+
2y2
a2
=1
,C2
x2
a2
+
y2
2a2
=1

設(shè)l:x=t(|t|<a),分別與C1、C2方程聯(lián)立,求得A(t,
2(a2-t2)
),B(t,
2(a2-t2)
2

∴|BC|:|AD|=
1
2
為定值;
(ⅱ)解:t=0時的l不符合題意.…(9分)
t≠0時,BO∥AN?kBO=kAN
kOB=
2(a2-t2)
2t
,kAN=
2(a2-t2)
t-a

所以BO∥AN?
2(a2-t2)
2t
=
2(a2-t2)
t-a
…(11分)
解得t=-a,與|t|<a矛盾,所以不存在直線l,使BO∥AN.…(12分)
點(diǎn)評:本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.
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(I)當(dāng)|MN|=4時,求C1,C2的方程;
(II)當(dāng)l平行移動時,
(。┳C明:|BC|:|AD|為定值;
(ⅱ)是否存在直線l,使BO∥AN?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.
(ⅱ)是否存在直線l,使BO∥AN?若存在,求直線l的方程;若不存在,請說明理由.

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