Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線(xiàn)l：x=-1的距離相等，點(diǎn)C在直線(xiàn)l上．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）設(shè)過(guò)定點(diǎn)F，法向量

n

=(4，-3)的直線(xiàn)與（1）中的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)且點(diǎn)A在x軸的上方，判斷∠ACB能否為鈍角并說(shuō)明理由．進(jìn)一步研究∠ABC為鈍角時(shí)點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義一動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離與到定直線(xiàn)的距離相等，M的軌跡為拋物線(xiàn)，可知M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，根據(jù)F的坐標(biāo)求出p的值，即可確定出拋物線(xiàn)的方程；
（2）根據(jù)已知的法向量得到直線(xiàn)AB方程的斜率，再由F的坐標(biāo)即可寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程，與（1）求出的拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求出x與y的值，確定出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出

CA

h和

CB

，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出兩向量的數(shù)量積，變形后得到其數(shù)量積大于等于0，故∠ACB不可能為鈍角；表示出過(guò)點(diǎn)B與直線(xiàn)AB的直線(xiàn)，令x=-1求出此時(shí)y的值，則y小于求出的值即可得到∠ABC為鈍角時(shí)點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍．

解答：解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線(xiàn)l：x=-1的距離相等，
所以M的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，
則軌跡方程為y²=4x；（4分）
（2）由題意，直線(xiàn)AB的方程為4x-3y-4=0（5分）
故A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組

y2=4x 4x-3y-4=0

，
解得A（4，4），B(

1

4

，-1)，
設(shè)C（-1，y），則

CA

=(5，4-y)，

CB

=(

5

4

，-1-y)，（8分）
由

CA

•

CB

=

25

4

+(4-y)(-1-y)=(y-

3

2

)2≥0，
所以∠ACB不可能為鈍角．（10分）
過(guò)B垂直于直線(xiàn)AB的直線(xiàn)方程為3x+4y+

13

4

=0，
令x=-1，解得y=-

1

16

，
當(dāng)∠ABC為鈍角時(shí)，點(diǎn)C縱坐標(biāo)的取值范圍是：y＜-

1

16

(y≠-

8

3

)．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的定義與應(yīng)用，及軌跡方程的求法，關(guān)鍵是看清題中給出的條件，靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則進(jìn)行求解．本題容易忽略y≠-

8

3

的情況．