Question

設(shè)P(a,b)(b≠0)是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn),l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(1,b)的直線.記Q是直線l與拋物線x²=2py(p≠0)的異于原點(diǎn)的交點(diǎn).

(1)已知a=1,b=2,p=2,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(2)已知點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)在橢圓+y²=1上,p=,求證:點(diǎn)Q落在雙曲線4x²-4y²=1上;

(3)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(a,b)滿足ab≠0,p=,若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上,試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上,并說(shuō)明理由.

Answer 1

答案: (1)解:當(dāng)a=1,b=2,p=2時(shí),

解方程組

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(8,16).

(2)證明:由方程組

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,),     

∵P是橢圓上的點(diǎn),即+b²=1,

∴4()²-4()²=(1-b²)=1.

因此點(diǎn)Q落在雙曲線4x²-4y²=1上.     

(3)解:設(shè)Q所在的拋物線方程為y²=2q(x-c),q≠0,

將Q(,)代入方程,得=2q(-c),即b²=2qa-2qca².     

當(dāng)qc=0時(shí),b²=2qa,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在拋物線上;

當(dāng)qc=時(shí),(a)²+b²=,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在圓上;

當(dāng)qc＞0且qc≠時(shí),=1,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在橢圓上;

當(dāng)qc＜0時(shí),=1,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在雙曲線上.