Question

已知向量

m

=（1，sinx），

n

=（2，1），函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值；
（2）若△ABC的內(nèi)角A、B所對的邊分別為a、b且f（A）=

14

5

，f（B）=

31

13

，a+b=77，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）解析式，根據(jù)x的范圍，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值即可；
（2）由f（A）=

14

5

，f（B）=

31

13

，根據(jù)（1）確定出的解析式，求出sinA與sinB的值，利用正弦定理得到a與b的方程，與a+b=77聯(lián)立即可求出a的值．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（1，sinx），

n

=（2，1），
∴函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2+sinx，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴sinx∈[0，1]，即2+sinx∈[2，3]，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為3；
（2）由f（A）=

14

5

，得sinA=

4

5

；由f（B）=

31

13

，得sinB=

5

13

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

a

b

=

sinA

sinB

=

52

25

，即25a=52b，
與a+b=77聯(lián)立，
解得：a=52，b=25．

點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．