Question

若函數(shù)y=f（x）在其圖象上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱(chēng)這條切線為自公切線，下列函數(shù)存在自公切的序號(hào)為

②③

；
①y=ln|x+1|；  ②y=x²-|x|；③y=xcosx；④y=

x2-1

．

Answer 1

分析：利用新定義，①y=ln|x+1|在（-∞，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)增，不存在自公切線；②y=x²-|x|是偶函數(shù)，圖象對(duì)稱(chēng)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(

1

2

，-

1

4

)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切線y=-

1

4

；③y=xcosx是奇函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為y′=cosx-xsinx，則x軸為函數(shù)的自公切線；④y=

x2-1

的圖象為x²-y²=1x軸上方的部分，不存在自公切線，故可得到結(jié)論．

解答：解：①y=ln|x+1|在（-∞，0）上單調(diào)減，（0，+∞）上單調(diào)增，不存在自公切線，故①不存在；
②y=x²-|x|是偶函數(shù)，圖象對(duì)稱(chēng)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(

1

2

，-

1

4

)，(-

1

2

，-

1

4

)，存在自公切線y=-

1

4

；
③y=xcosx是奇函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為y′=cosx-xsinx，則x軸為函數(shù)的自公切線；
④y=

x2-1

的圖象為x²-y²=1x軸上方的部分，不存在自公切線，故④不存在，
故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，屬于中檔題．