設函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），對任意正實數(shù)m，n恒有f（mn）=f（m）+f（n），且當x＞1時，f（x）＜0，f（2）=-1
（1）求f（1）和f（
1
2
）的值；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（1）令m=n=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0（2分）
令 m=2，n=
1
2
，則 f(1)=f(2×
1
2
)=f(2)+f(
1
2
)，
∴f(
1
2
)=f(1)-f(2)=1（4分）

（2）設0＜x1＜x2，則
x2
x1
＞1
∵當x＞1時，f（x）＜0
∴f(
x2
x1
)＜0（6分）
f(x2)=f(x1×
x2
x1
)=f(x1)+f(
x2
x1
)＜f(x1)（9分）
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)（10分）．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-
3
2
）與b=f（
15
2
）的大小關系為
a＞b
a＞b
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為D，若對于任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設函數(shù)f（x）為定義在[0，1]上的非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1，x∈[0，1]； ③當x∈[0，
1
4
]時，f（x）≥2x恒成立．則f(
3
7
)+f(
5
9
)=
1
1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：填空題

設函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-數(shù)學公式）與b=f（數(shù)學公式）的大小關系為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年安徽省蚌埠二中高三（上）12月月考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：填空題

設函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=2x-cosx，則a=f（-）與b=f（）的大小關系為    ．

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科目：高中數(shù)學 來源：山東省月考題 題型：填空題

設函數(shù)f（x）的定義在R上的偶函數(shù)，且是以4為周期的周期函數(shù)，當x∈[0，2]時，f（x）=2x﹣cosx，則a=f（﹣）與b=f（）的大小關系為（    ）．

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