Question

5．如圖，已知拋物線y=x²，動(dòng)弦AB的長(zhǎng)為2，求AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．

Answer 1

分析 F為拋物線的焦點(diǎn)．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+$\frac{1}{，4}$，|BF|=y₃+$\frac{1}{，4}$．又M是線段AB的中點(diǎn)，利用梯形的中位線定理可得y₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₃）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|-$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（|AB|-$\frac{1}{2}$），即可求得AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最小值．

解答 解：設(shè)A、M、B三點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為y₁、y₂、y₃，如圖，
A、M、B三點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點(diǎn)．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
拋物線y=x²，焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{，4}$），
由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+$\frac{1}{，4}$，|BF|=y₃+$\frac{1}{，4}$．
∴y₁=|AF|-$\frac{1}{，4}$，y₃=|BF|-$\frac{1}{，4}$．
又M是線段AB的中點(diǎn)，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₃）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|-$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（|AB|-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，等號(hào)成立．
即當(dāng)定長(zhǎng)為a的弦AB過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)，
弦AB的中點(diǎn)M與x軸的距離最小，最小值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查梯形的中位線定理及其三角形的三邊的大小關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．