Question

如圖，現有一個以∠AOB為圓心角、湖岸OA與OB為半徑的扇形湖面AOB．現欲在弧AB上取不同于A，B的點C，用漁網沿著弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半徑OC和線段CD（其中CD∥OA），在該扇形湖面內隔出兩個養(yǎng)殖區(qū)域--養(yǎng)殖區(qū)域Ⅰ和養(yǎng)殖區(qū)域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的長度；
（2）求所需漁網長度（即圖中弧AC、半徑OC和線段CD長度之和）的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的長度；
（2）根據所需漁網長度，即圖中弧AC、半徑OC和線段CD長度之和，確定函數的解析式，利用導數確定函數的最值，即可求得所需漁網長度的取值范圍．
解答：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），θ∈（0，）（6分）
（2）設漁網的長度為f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+sin（）．（8分）
所以f′（θ）=1-cos（），因為θ∈（0，），所以-θ∈（0，），
令f′（θ）=0，得cos（）=，所以-θ=，所以θ=．

θ	（0，）		（，）
f′（θ）	+		-
f（θ）		極大值

所以f（θ）∈（2，]．
故所需漁網長度的取值范圍是（2，]．（14分）
點評：本題考查正弦定理的運用，考查函數模型的構建，考查利用導數確定函數的最值，確定函數的解析式是關鍵．