Question

已知函數(shù)把方程f（x）=x的根按從小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

1. A.
   （n∈N^*）
2. B.
   a_n=n（n-1）（n∈N^*）
3. C.
   a_n=n-1（n∈N^*）
4. D.
   a_n=2ⁿ-2（n∈N^*）

Answer 1

C
分析：函數(shù)y=f（x）與y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為0，1，2，3，4，…其通項(xiàng)公式為a_n=n-1．
解答：若0＜x≤1，則-1＜x-1＜0，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-1，
若1＜x≤2，則0＜x-1≤1，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-2+1
若2＜x≤3，則1＜x-1≤2，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-3+2
若3＜x≤4，則2＜x-1＜3，得f（x）=f（x-1）+1=2^x-4+3
以此類推，若n＜x≤n+1（其中n∈N），則f（x）=f（x-1）+1=2^x-n-1+n，
下面分析函數(shù)f（x）=2^x的圖象與直線y=x+1的交點(diǎn)
很顯然，它們有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1）和（1，2），
由于指數(shù)函數(shù)f（x）=2^x為增函數(shù)且圖象下凸，故它們只有這兩個(gè)交點(diǎn)．
然后①將函數(shù)f（x）=2^x和y=x+1的圖象同時(shí)向下平移一個(gè)單位即得到函數(shù)f（x）=2^x-1和y=x的圖象，
取x≤0的部分，可見(jiàn)它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)（0，0）．
即當(dāng)x≤0時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=0．
②�、僦泻瘮�(shù)f（x）=2^x-1和y=x圖象-1＜x≤0的部分，再同時(shí)向上和向右各平移一個(gè)單位，
即得f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（1，1）．
即當(dāng)0＜x≤1時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=1．
③�、谥泻瘮�(shù)f（x）=2^x-1和y=x在0＜x≤1上的圖象，繼續(xù)按照上述步驟進(jìn)行，
即得到f（x）=2^x-2+1和y=x在1＜x≤2上的圖象，顯然，此時(shí)它們?nèi)匀恢挥幸粋�(gè)交點(diǎn)（2，2）．
即當(dāng)1＜x≤2時(shí)，方程f（x）-x=0有且僅有一個(gè)根x=2．
④以此類推，函數(shù)y=f（x）與y=x在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的交點(diǎn)依次為（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．
即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次為3，4，…n+1．
綜上所述方程f（x）-x=0的根按從小到大的順序排列所得數(shù)列為
0，1，2，3，4，…
其通項(xiàng)公式為a_n=n-1；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的合理運(yùn)用，解題時(shí)要注意分類討論思想的合理運(yùn)用．