Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，且a₂＞a₁
（1）求{a_n}的通項公式；（2）求和：

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a4

+…+

(-1)n-1

an

．

Answer 1

分析：（1）由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式化簡已知的兩等式，得到關于首項與公比的方程組，求出方程組的解可得首項與公比的值，即可得到此數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)所求式子的特點可設bn=

(-1)n-1

an

，表示出

bn+1

bn

，把第一問求出的通項公式代入可得出

bn+1

bn

的值為定值，即數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求出b₁的值及公比，利用等比數(shù)列的前n項和公式即可求出所求式子的和T_n．

解答：解：（1）由a₁+a₃=10，S₃-3a₂=4，
化簡得：

a1+a1q2=10 a1(1-2q+q2)=4

，（3分）
解得：

a1=1 q=3

或

a1=9 q= 1 3

，（5分）
當a₁=9，q=

1

3

時，a₂＜a₁，不合題意，舍去，
當a₁=1，q=3時，可得a_n=3^n-1；（7分）
（2）設bn=

(-1)n-1

an

，
∵a_n=3^n-1，∴

bn+1

bn

=-

an

an+1

=-

1

3

，
又b₁=

1

a1

=1，
∴{b_n}是首項為1，公比為-

1

3

的等比數(shù)列，（10分）
∴所求式子的和Tn=

1[1-(- 1 3 )n]

1+ 1 3

=

3

4

[1-(-

1

3

)n]．（14分）

點評：此題考查了等比數(shù)列的性質，等比數(shù)列的通項公式、求和公式，以及等比數(shù)列的確定，熟練掌握性質及公式是解本題的關鍵．