Question

若x∈[-

π

3

，

π

4

]，則函數(shù)y=

1

cos2x

+2tanx+1的最小值為

 

，最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：化簡三角函數(shù)，從而可得y=

1

cos2x

+2tanx+1=tan²x+2tanx+2=（tanx+1）²+1，而tanx∈[-

3

，1]，由二次函數(shù)的最值，從而求函數(shù)的最值點及最值．

解答： 解：y=

1

cos2x

+2tanx+1
=

cos2x+sin2x

cos2x

+2tanx+1
=tan²x+2tanx+2
=（tanx+1）²+1，
∵x∈[-

π

3

，

π

4

]，
∴tanx∈[-

3

，1]，
∴當(dāng)tanx=-1，即x=-

π

4

時，
函數(shù)y=

1

cos2x

+2tanx+1取得最小值1；
當(dāng)tanx=1，即x=

π

4

時，
函數(shù)y=

1

cos2x

+2tanx+1取得最大值4+1=5．
故答案為：1，5．

點評：本題考查了三角函數(shù)的化簡與二次函數(shù)的最值的求法，注意對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，屬于中檔題．