Question

已知函數(shù)f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

，給出下列結論：
①f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠2kπ-

π

4

，k∈Z}；
②f（x）的值域為[-1，1]；
③f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為2π；
④f（x）的圖象關于直線對稱；
⑤將f（x）的圖象按向量

a

=(

π

2

，0)平移得到g（x）的圖象，則g（x）為奇函數(shù)．
其中，正確的結論是

③④

（將你認為正確的結論序號都寫出）

Answer 1

分析：①sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≠0⇒x+

π

4

≠kπ⇒x≠kπ-

π

4

，①顯然錯；
②由f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，可判斷②；
③由f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，f（x+2π）=f（x）可判斷f（x）是周期函數(shù)，
又f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

可判斷最小正周期為2π；
由f（x）的圖象可判斷 ④的正誤；
⑤將函數(shù)f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

的圖象按向量

a

=(

π

2

，0)平移，g（x）=

|sinx-cosx|

sinx-cosx

≠g（-x），其正誤可判．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≠0，
∴x+

π

4

≠kπ即x≠kπ-

π

4

，故①錯誤；
∵f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，
∴f（x）的值域為{-1，1}，故②錯誤；
∵f（x+2π）=

1+sin2(x+2π)

sin(x+2π)+cos(x+2π)

=

1+sin2x

sinx+cosx

=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，
又f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

，
∴其最小正周期為2π；故③正確；
由f（x）=

1  x∈(2kπ- π 4 ，2kπ+ 3π 4 )(k∈ Z ) -1 x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4 ) (k∈Z)

的圖象可知…x=-

3π

4

，x=

π

4

，x=

5π

4

，…均為其對稱軸，故④正確；
將函數(shù)f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

的圖象按向量

a

=(

π

2

，0)平移得g（x）=

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，
g（-x）=

|-sinx-cosx|

-sinx-cosx

=-

|sinx+cosx|

sinx+cosx

≠

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，故⑤錯誤．
綜上所述：③④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查正余弦函數(shù)的定義域和值域，向量的平移及三角函數(shù)的周期性及其求法，著重考查學生綜合分析與應用的能力，注重了分類討論，轉化，數(shù)形結合思想的考查，屬于難題．