Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x₀處取得極小值-5，其導函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點（0，0）與（2，0）
（1）求a，b的值；
（2）求x₀及函數(shù)f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)在x₀處取得極小值-5，以及導函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點（0，0）與（2，0），確定a，b，c的值．
（2）由（1）可以確定x₀及函數(shù)f（x）的表達式．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b…（2分）
過點（0，0）與（2，0），故

b=0 12+4a+b=0

得

a=-3 b=0

；…（5分）
（2）由（1）得f（x）=x³-3x²+c…（6分）
由f′（x）=3x²-6x=0⇒x=0或x=2…（8分）
而當x＜0時，f′（x）＞0；     
當0＜x＜2時，f′（x）＜0
當x＞2時，f′（x）＞0；
故f（2）是f（x）的最小值…（10分）
從而有x₀=2，f（2）=-5…（11分）
由f（2）=-5⇒8-12+c=-5，解得c=-1…（12分）
∴f（x）=x³-3x²-1…（13分）

點評：本題主要考查了導數(shù)和函數(shù)極值的關系，要求熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值的基本方法．