Question

（2012•武昌區(qū)模擬）在平面x0y內(nèi)，不等式x²+y²≤4確定的平面區(qū)域?yàn)閁，不等式組

x-2y≥0 x+3y≥0

確定的平面區(qū)域?yàn)閂．
（Ⅰ）定義橫、縱坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)為“整點(diǎn)”．在區(qū)域U任取3個(gè)整點(diǎn)，求這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率；
（Ⅱ）在區(qū)域U每次任取1個(gè)點(diǎn)，連續(xù)取3次，得到3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)在區(qū)域V的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為13個(gè)，整點(diǎn)在平面區(qū)域V的有3個(gè)，由此能求出這些整點(diǎn)中恰有2個(gè)整點(diǎn)在區(qū)域V的概率．
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為

1

8

×π×22=

π

2

．在區(qū)域U任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V的概率為

π

8π

=

1

8

，隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3．分別求出其概率，由此能夠求出X的分布列和EX．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）依題可知平面區(qū)域U的整點(diǎn)為：（0，0），（0，±1），（0，±2），
（±1，0），（±2，0），（±1，±1），共13個(gè)，
上述整點(diǎn)在平面區(qū)域V的為：（0，0），（1，0），（2，0）共有3個(gè)，
∴P=

C 2 3 C 1 10

C 3 13

=

15

143

．…（4分）
（Ⅱ）依題可得，平面區(qū)域U的面積為π•2²=4π，
平面區(qū)域V與平面區(qū)域U相交部分的面積為

1

8

×π×22=

π

2

．
在區(qū)域U任取1個(gè)點(diǎn)，則該點(diǎn)在區(qū)域V的概率為

π

8π

=

1

8

，
隨機(jī)變量X的可能取值為：0，1，2，3．
P（X=0）=（1-

1

8

）³=

343

512

，
P（X=1）=

C

1 3

•(

1

8

)•(1-

1

8

)2=

147

512

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

8

)2•(1-

1

8

)=

21

512

，
P（X=3）=

C

3 3

•(

1

8

)3=

1

512

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	343 512	147 512	21 512	1 512

∴X的數(shù)學(xué)期望：EX=0×

343

512

+1×

147

512

+2×

21

512

+3×

1

512

=

3

8

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意概率知識(shí)的合理運(yùn)用．