Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足關(guān)系：an=

3

2

an-1+5(n≥2)，a1=-

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2

（1）令b_n=a_n+10，求證：{b_n}是等比數(shù)列；
（2）問(wèn)數(shù)列{a_n}從第幾項(xiàng)開(kāi)始大于零？
（下列數(shù)據(jù)供計(jì)算時(shí)參考：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）利用已知遞推式變形b_n=a_n+10=

3

2

an-1+15=

3

2

(an-1+10)=

3

2

bn-1即可證明；
（2）利用（1）即可得到b_n，進(jìn)而得到a_n，兩邊去對(duì)數(shù)即可得出．

解答：解：（1）a1=-

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2

，an=

3

2

an-1+5
由b n=an+10，則bn=an+10=

3

2

an-1+15=

3

2

(an-1+10)
于是有bn=

3

2

bn-1，又b1=a1+10=10-

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2

=

3

2

由等比數(shù)列可知，數(shù)列{b_n}是以首項(xiàng)為

3

2

，公比為

3

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）可知bn=

3

2

bn-1，b1=

3

2

，則bn=(

3

2

)n，
∴an=(

3

2

)n-10＞0，則(

3

2

)n＞10兩邊取對(duì)數(shù) n（lg3-lg2）＞1（0.4771-0.3010）•n＞1，0.1761n＞1，而n∈N，∴n≥6
因此數(shù)列{a_n}從第6項(xiàng)開(kāi)始大于零．

點(diǎn)評(píng)：正確理解遞推式的意義、等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．