Question

【題目】（1）證明：；

（2）證明：對(duì)任何正整數(shù)n，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)x均成立，其中均為整數(shù)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；

（3）利用（2）的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不是

【解析】

（1），利用兩角和的正弦和二倍角公式，進(jìn)行證明；（2）對(duì)分奇偶，即和兩種情況，結(jié)合兩角和的余弦公式，積化和差公式，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，將表示出來(lái)，然后判斷其每一項(xiàng)都為無(wú)理數(shù)，從而得到答案.

（1）

所以原式得證.

（2）為奇數(shù)時(shí)，

時(shí)，，其中，成立

時(shí)，

，其中，成立

時(shí)，

，其中，成立，

則當(dāng)時(shí)，

所以得到

因?yàn)?/span>均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，

故原式成立；

為偶數(shù)時(shí)，

時(shí)，，其中，

時(shí)，

，

其中，成立，

時(shí)，

，

其中，成立，

則當(dāng)時(shí)，

所以得到

其中，

因?yàn)?/span>均為整數(shù)，所以也均為整數(shù)，

故原式成立；

綜上可得：對(duì)任何正整數(shù)，存在多項(xiàng)式函數(shù)，使得對(duì)所有實(shí)數(shù)均成立，其中，均為整數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；

（3）由（2）可得

其中均為有理數(shù)，

因?yàn)?/span>為無(wú)理數(shù)，所以均為無(wú)理數(shù)，

故為無(wú)理數(shù)，

所以不是有理數(shù).