Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a為實數(shù)），g（x）=lnx-x．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）的極值；
（3）證明：（n∈N，n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函數(shù)f（x）=e^x-ax-1得導(dǎo)數(shù)，對參數(shù)a的范圍進(jìn)行討論得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)解決即可．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N₊，n≥2，∴l(xiāng)nn²≤n²-1，得到≤=
再利用裂項法求和，即可得出不等式．
解答：解：由已知，得f′（x）=e^x-a，當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函數(shù)f（x）在[lna，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，lna]上單調(diào)遞減，
（2）函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞），g′（x）=當(dāng)0＜x＜1，g′（x）＞0，當(dāng)x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得極大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N₊，n≥2，∴l(xiāng)nn²≤n²-1，得到≤=
≤（）+（）+…（）=（n-1）-（++…+）＜（n-1）-[++]
=（n-1）-（）++]=（n-1）-=
即
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值（極值）．不等式的證明．本題的關(guān)鍵是利用（2）做鋪墊，構(gòu)造出基礎(chǔ)不等式到≤=．