Question

兩個(gè)腰長(zhǎng)均為1的等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成60°的二面角，則點(diǎn)C₁和C₂之間的距離等于

 

．（請(qǐng)寫出所有可能的值）

Answer 1

分析：有三種情況：
①若AB是斜邊，則根據(jù)題中二面角的大小，要把這個(gè)條件用起來(lái)的話，首先要作出此二面角的平面角，可以取AB中點(diǎn)M，連接MC₁、MC₂，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，進(jìn)而可以求得答案；
②若AB是直角邊，則∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，進(jìn)一步可得答案．
③如圖3所示：AB為公共直角邊時(shí)，C₁在靠近A的這側(cè)，但是C₂在靠近B的那側(cè)．

解答：解：如圖所示，有兩種情況：
①如圖1所示：當(dāng)AB為斜邊時(shí)，取AB中點(diǎn)M，連接MC₁、MC₂，
∵△ABC₁和△ABC₂均為等腰直角三角形，
∴MC₁⊥AB，MC₂⊥AB，則∠C₁MC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，
∴∠C₁MC₂=60°
又∵M(jìn)C₁=MC₂=

2

2

∴C₁C₂=

2

2

②如圖2所示：當(dāng)AB為直角邊時(shí)，
∵BA⊥AC₁，BA⊥AC₂，
∴∠C₁AC₂即為等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面構(gòu)成的二面角的平面角，
∴∠C₁AC₂=60°
又∵C₁A=C₂A=1
∴C₁C₂=1
③如圖3所示：AB為公共直角邊時(shí)，C₁在靠近A的這側(cè)，但是C₂在靠近B的那側(cè)，
此時(shí)C₁C₂=

2

綜上所述：點(diǎn)C₁和C₂之間的距離等于

2

2

或1

2

．
故答案為：

2

2

或1或

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查點(diǎn)、線、面之間的距離計(jì)算，二面角及其度量等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．