設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線y=2x2上的兩點(diǎn),直線l是AB的垂直平分線.
(理)當(dāng)直線l的斜率為
1
2
時(shí),則直線l在y軸上截距的取值范圍是
5
4
,+∞)
5
4
,+∞)

(文)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2
0
0
值時(shí),直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F.
分析:(理科)設(shè)直線l的方程為 y=
1
2
x+b,設(shè)AB的方程為y=-2x+c,c>0,把把AB的方程代入拋物線y=2x2化簡(jiǎn)可得2x2+2x-c=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)公式求得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo),把M的坐標(biāo)代入直線l的方程可得c=b-
5
4
>0,解得b的范圍.
(文)由拋物線y=2x2,得出其焦點(diǎn).下面分類(lèi)討論:(1)直線l的斜率不存在時(shí),(2)直線l的斜率存在時(shí),分別求解當(dāng)x1+x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F即可;
解答:解:當(dāng)直線l的斜率為
1
2
時(shí),則直線AB的斜率為-2
設(shè)直線l的方程為 y=
1
2
x+b,AB的方程為y=-2x+c,c>0
把AB的方程 y=-2x+c代入拋物線y=2x2化簡(jiǎn)可得 2x2+2x-c=0,
∴x1+x2=-1,y1+y2=-2(x1+x2)+2c=2+2c
故線段AB的中點(diǎn) M(-
1
2
,1+c ),由題意知,點(diǎn) M(-
1
2
,1+c )在直線l上,
∴1+c=
1
2
(-
1
2
)+b,∴c=b-
5
4
>0,
∴b>
5
4
,
故直線l在y軸上截距的取值范圍是 (
5
4
,+∞)

(理)∵拋物線y=2x2,即x2=
y
2
,∴p=
1
4

∴焦點(diǎn)為F(0,
1
8
)

(1)直線l的斜率不存在時(shí),顯然有x1+x2=0
(2)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)為k,截距為b即直線l:y=kx+b
由已知得:
y1+y2
2
=k•
x1+x2
2
+b
y1-y2
x1-x2
=-
1
k

2x
2
1
+
2x
2
2
2
=k•
x1+x2
2
+b
2x
2
1
-
2x
2
2
x1-x2
=-
1
k

x
2
1
+
x
2
2
=k•
x1+x2
2
+b
x1+x2=-
1
2k

x
2
1
+
x
2
2
=-
1
4
+b≥0
⇒b≥
1
4

即l的斜率存在時(shí),不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F(0,
1
8
)

所以當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2=0時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F
故答案為(
5
4
,+∞)
,0
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查直線的一般式方程、直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想.屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線C于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),求
1
y1
+
1
y2
的取值范圍;
(Ⅱ)是否存在定點(diǎn)Q,使得無(wú)論AB怎樣運(yùn)動(dòng)都有∠AQF=∠BQF?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的圖象上兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2

(Ⅰ)求證:點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為定值;
(Ⅱ)定義定義Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*且n≥2,求S2011;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的Sn,設(shè)an=
1
2Sn+1
(n∈N*)
.若對(duì)于任意n∈N*,不等式kan3-3an2+1>0恒成立,試求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
上的兩點(diǎn),已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的離心率e=
3
2
,短軸長(zhǎng)為2,且
m
=(
x1
b
y1
a
),
n
=(
x2
b
y2
a
)
,若
m
n
=0

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線AB過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F(0,c)(c為半焦距),求△AOB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是函數(shù)f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
圖象上任意兩點(diǎn),且
OM
=
1
2
OA
+
OB
),已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為
1
2
,且有Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
),其中n∈N*且n≥2,
(1)求點(diǎn)M的縱坐標(biāo)值;
(2)求s2,s3,s4及Sn;
(3)已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
,其中n∈N*,且Tn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Tn≤λ(Sn+1+1)對(duì)一切n∈N*都成立,試求λ的最小正整數(shù)值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)是拋物線y=x2上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),其中x3>x2≥0,△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.
(1)求證:直線BC的斜率等于x2+x3,也等于
x2-x1x3-x2
;
(2)求A、C兩點(diǎn)之間距離的最小值.

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